双磁编齿轮多圈绝对值编码器：相位差解圈数与无电池设计

1. 问题：单颗磁编为什么不够

AS5048 / MT6701 / AS5147 这类磁编码器芯片，内部是一个霍尔阵列检测上方径向充磁磁钢的角度，输出 单圈 0~360° 的绝对值（12~14 bit，约 0.02°~0.09°）。它回答的是"磁钢当前在哪个角度"，回答不了"磁钢从开机到现在转了几圈"。

对伺服/关节模组，这就有两个硬伤：

上电不知道绝对位置：如果电机转子已经转了 3.5 圈，磁编只读到 180°，控制器不知道该把 180° 当成 180° 还是 1260°——FOC 换相会错，位置环会跑飞。
断电位置丢失：普通增量式编码器靠 Z 相回零；单圈绝对值磁编断电后，下次上电必须重新找零。

工程上要的是多圈绝对值：上电即知"输出轴当前在第几圈的哪个角度"，不需要回零。主流有两条路线。

方案	多圈计数原理	断电保持	成本	缺点
电池 + EEPROM/SRAM	芯片内置多圈计数器，电池供电维持	靠电池	中	电池寿命 5~10 年，换电池要重新标定；低温掉电风险
齿轮副机械多圈（本文）	两个磁编经不同齿数比齿轮测相位差，机械位置即多圈记忆	机械保持，无电池	低（多一颗磁编+齿轮）	齿轮回程间隙引入角度误差；需配对标定

2. 历史：齿轮多圈是谁先做的

"齿轮组多圈"不是磁编码器时代的新发明——它是德国海德汉（HEIDENHAIN）在光电编码器时代就确立的经典方案。1964 年，海德汉推出 ROC 系列，是业界第一款真正的绝对式旋转编码器，用一个单圈码盘加一组齿轮减速带动多圈计数盘，实现断电位置记忆。此后海德汉的 EQI 系列至今仍是"齿轮式多圈（gear-based multi-turn）"的代表，机床、伺服领域用了半个多世纪。

磁编码器时代做的事，本质是把"玻璃码盘+光学读数头"换成"径向磁钢+霍尔阵列"，再用两颗磁编芯片分别测两个齿数不同的小齿轮相位差——粗精解圈数的数学思想和海德汉的齿轮多圈一脉相承，只是把光学元件换成了磁敏元件，成本从几千元降到几十元。

现代新路线：无电池多圈现在还有第三条技术线——韦根效应（Wiegand）：特殊合金丝在磁场翻转时产生一个脉冲，每转一圈计一次脉冲，完全无源、不用齿轮。海德汉、日本多摩川（Tamagawa）的高端伺服编码器已采用；国产磁编芯片也在跟进。齿轮副方案胜在成本极低、结构简单，韦根胜在无机械磨损，两条线在关节模组里并存。

3. 结构识别：三个齿轮 + 两颗磁编

从实物看：中心一个大齿轮（随输出轴转），左右两个小齿轮各带一颗磁钢，PCB 上两颗磁编芯片分别对准两个小齿轮磁钢。这就是齿轮副多圈磁编码器的典型结构。

怎么区分"多圈磁编"和"关节双端磁编"：双端磁编是一颗测电机转子（高速）、一颗测输出法兰（低速），中间隔着减速器；多圈磁编是两颗磁编都测同一根主轴，只是通过齿数不同的齿轮耦合。判断方法：两个小齿轮齿数不同（差 1~2 齿），且都只啮合中心大齿轮。

4. 数学原理：相位差解圈数

设主轴齿轮齿数 $Z_0$，两个副轴小齿轮齿数 $Z_1$、$Z_2$（互质），两颗磁编分别测副轴角度：

θ₁ = (Z₀/Z₁)·θ + φ₁
θ₂ = (Z₀/Z₂)·θ + φ₂

其中 θ 是主轴绝对角度（含多圈），φ₁、φ₂ 是安装零位偏移。两颗磁编各自只能输出单圈角度（mod 360°），但它们的相位差：

Δθ = (θ₁ − θ₂) mod 360° = Z₀·θ·(1/Z₁ − 1/Z₂) + const

主轴每转一圈，Δθ 变化一个固定步进。因为 $Z_1$、$Z_2$ 互质，这个步进在 $Z_1 \times Z_2$ 圈内不会重复——Δθ 唯一对应"当前是第几圈"。

参数	典型值	说明
Z₀（主轴）	50	中心大齿轮
Z₁（副轴1）	25	磁编1，减速比 2:1
Z₂（副轴2）	26	磁编2，减速比 50/26≈1.923:1
多圈量程	25×26 = 650 圈	互质时不模糊圈数（实际取几百圈够用）
单圈分辨率	14 bit ≈ 0.022°	磁编芯片本身

5. 粗精配对：从两个读数反推绝对角度

控制器上电读到的是两个单圈角度 $r_1$、$r_2$（mod 360°），要反推主轴绝对角度 $\theta$。流程：

粗（单圈）：用磁编1直接给 $\theta \bmod 360°$，精度 0.02° 级。
精（多圈）：枚举圈数 $N$（从 −300 到 +300），对每个 $N$ 算"如果主轴在第 $N$ 圈，两个磁编读数应该是多少"，找与实测 $(r_1, r_2)$ 最接近的 $N$。
合成：$\theta_{abs} = N \times 360° + (\theta \bmod 360°)$。

枚举法计算量极小（600 次浮点比较），在 FOC 主控上微秒级完成。实际产品也可用查表法预计算 Δθ↔N 映射。

6. 交互仿真：拖主轴看相位差

下面仿真 $Z_0=50, Z_1=25, Z_2=26$ 的齿轮组。拖动滑块改变主轴角度（−360° ~ +1080°，即 −1 ~ +3 圈），观察两个小齿轮转速不同步，以及 Δθ 如何随圈数线性变化。

齿轮组双磁编仿真

主轴角度 θ：0°

7. 误差来源与工程对策

误差源	量级	影响	对策
齿轮回程间隙	1~5 角分	正反转时角度跳变，直接变成位置误差	双片弹簧消隙齿轮；预紧小扭矩
磁钢偏心/安装倾斜	0.1°~1°	单圈角度周期性误差	对应本站第 04 篇磁编校准（查表/谐波注入）
齿数不互质	—	Δθ 周期提前重复，多圈解算模糊	Z₁、Z₂ 选互质（如 25/26、31/32）
温漂	0.05°/10℃	零位偏移	温补表；出厂两点标定
齿轮啮合侧隙	—	振动噪声、磨损后间隙变大	金属粉末冶金齿轮预压；定期复检

8. 与关节双端磁编的区别

方案	两个磁编测什么	目的	典型位置
齿轮副多圈（本文）	同一根主轴，两个副轴经不同齿轮比测相位差	单芯片无电池多圈绝对值	电机尾部/编码器盖内
关节双端编	电机端（高速转子）+ 输出端（负载侧）各一个	FOC 换相 + 全闭环消减速器间隙/柔度	电机前端盖 + 输出法兰

两者不冲突：高端关节模组可能同时用——电机端一颗磁编做 FOC，输出端一颗齿轮副多圈磁编做位置环。

9. C 代码：多圈解算

// dual_encoder_multiturn.c
// 齿轮副双磁编多圈绝对值解算
// Z0=50, Z1=25, Z2=26，量程 650 圈
#include <math.h>

#define Z0 50
#define Z1 25
#define Z2 26
#define MAX_TURNS 300

static float phi1 = 0.0f;  // 磁编1零位偏移（rad）
static float phi2 = 0.0f;  // 磁编2零位偏移（rad）

/* 标定：主轴转到机械零位，调用一次 */
void enc_calibrate(float r1, float r2) {
    phi1 = r1;
    phi2 = r2;
}

/* 解算：输入两个磁编单圈读数（rad, 0~2π），输出主轴绝对角度（rad） */
float enc_decode(float r1, float r2) {
    /* 粗：磁编1直接给单圈角 */
    float coarse = r1 - phi1;
    while (coarse < 0) coarse += 2*M_PI;
    while (coarse >= 2*M_PI) coarse -= 2*M_PI;

    /* 精：枚举圈数 N，找最匹配的 */
    float best_err = 1e9f;
    int best_n = 0;
    for (int n = -MAX_TURNS; n <= MAX_TURNS; n++) {
        float theta = n * 2*M_PI + coarse;
        /* 预测两个磁编读数 */
        float p1 = fmodf(theta * Z0 / Z1 + phi1, 2*M_PI);
        float p2 = fmodf(theta * Z0 / Z2 + phi2, 2*M_PI);
        /* 角度差归一化 */
        float d1 = fabsf(fmodf(p1 - r1 + M_PI, 2*M_PI) - M_PI);
        float d2 = fabsf(fmodf(p2 - r2 + M_PI, 2*M_PI) - M_PI);
        float err = d1 + d2;
        if (err < best_err) { best_err = err; best_n = n; }
    }
    return best_n * 2*M_PI + coarse;
}

仿真验证：主轴 θ=720°（转了 2 圈），磁编1 读数 = 720°×2 = 1440° mod 360° = 0°；磁编2 读数 = 720°×50/26 ≈ 1384.6° mod 360° ≈ 304.6°。枚举 N=2 时预测值与实测吻合，解算输出 720°。

10. 工程避坑清单

齿数必须互质：Z₁、Z₂ 有公因数会导致 Δθ 提前重复，多圈解算出现模糊圈。
齿轮间隙是头号误差源：选双片弹簧消隙齿轮，否则正反转 1~5 角分跳变直接进位置环。
两个磁编要同型号：温度漂移方向一致，温补才好做。
标定只做一次：机械装配后把主轴转到已知零位，记录 φ₁、φ₂ 存入 EEPROM。
磁钢偏心校准：单圈角度误差用本站第 04 篇的查表/谐波注入法补偿。