静摩擦远大于动摩擦系统的电机驱动优化

1. 什么是静摩擦？为什么它远大于动摩擦？

把一台带减速器/丝杠的伺服轴用手轻轻推：推不动——需要先克服一个"门槛"力，一旦动起来，维持运动反而轻松很多。这个"门槛"就是静摩擦（Static Friction）F_s，运动起来后需要克服的恒定阻力叫库仑动摩擦（Coulomb Friction）F_c，再加上与速度成正比的部分叫粘滞摩擦 b·v。

在精密伺服系统里，静摩擦往往明显大于动摩擦。原因有三：

微观接触：静止时两接触面微凸体相互"咬合"甚至冷焊（adhesion），边界润滑膜尚未建立；一旦滑动，流体动压把表面"撑开"，阻力骤降
工程预紧：导轨预紧、谐波/行星减速器预紧、丝杠预压、密封圈/油封的抱紧力，都会显著抬高 F_s
润滑状态：停机后润滑剂流失/变稠，边界润滑 → 混合润滑 → 流体润滑，正是 Stribeck 曲线的物理背景

典型比值 F_s/F_c = 1.5 ~ 4，带预紧减速器、油封的轴甚至可达 5~10。

💡 Stribeck 曲线：从静止到运动的完整摩擦画像

摩擦不是从 F_s 直接跳到 F_c，而是要经过一段"随速度增大摩擦先下降"的过渡。这段负斜率区域（0 → v_s）就是所有爬行问题的物理根源。工程上常用指数形式描述：

F(v) = F_c·sgn(v) + b·v + (F_s − F_c)·e^−(v/v_s)²·sgn(v)

v_s 称 Stribeck 速度，是摩擦从"静"过渡到"动"的特征速度，一般很小（百分之几到零点几 rad/s）。v=0 时上式等于 F_s，v→∞ 时趋向 b·v 主导的粘滞段。

摩擦分量	表达式	对系统的影响
静摩擦	F_s	启动死区、"突跳"、定位保持时的死区
库仑动摩擦	F_c·sgn(v)	方向切换时扭矩阶跃（象限切换毛刺）
粘滞摩擦	b·v	高速增益损失，速度-转矩曲线斜率
Stribeck 过渡	(F_s−F_c)·e^−(v/v_s)²	低速负阻尼 → 爬行（stick-slip）

2. 静摩擦 >> 动摩擦带来哪些问题？

启动死区与"突跳"：给一个小于 F_s 的扭矩，轴纹丝不动（死区）；电流环积分攒到 F_s 后突然突破，一冲就过头。机器人关节"嗒"的一下启动、机床进给"咯噔"一下，都是它
低速爬行（stick-slip）：在 Stribeck 负斜率段，速度略增 → 摩擦减小 → 加速更多 → 速度再增……形成正反馈失稳，表现为周期性"停-滑-停"的爬行
定位超调与极限环：位置环下，静摩擦死区让系统在目标点附近"停不住"，积分反复冲过目标，形成来回振荡的极限环，定位精度和重复精度骤降
象限切换毛刺：反向运动换向时速度过零，摩擦从 +F_s 突跳到 −F_s，扭矩瞬间冲击，加工轮廓出现"象限突起"（象限误差）
低速轮廓误差：匀速指令下实际速度变成锯齿，位置跟随误差大，视觉伺服、精密转台、点胶轨迹都会受影响

⚠️ 关键认知：爬行是"负阻尼"失稳，不是增益不足

Stribeck 负斜率段相当于给系统注入负阻尼：速度扰动会被放大而不是被衰减。所以"调大 PI 增益硬压"往往压不住爬行，增益大了甚至更糟（进入极限环）。正确思路是让运行点离开负斜率区——用前馈把静摩擦"提前垫掉"，或用 dither 让系统始终处于微运动、绕开静摩擦粘滞。这是本文全部方案的核心逻辑。

3. 摩擦辨识：先测出 F_s、F_c、b、v_s

要补偿，先得把摩擦参数测出来。工程上四类方法各有适用场景：

方法一：多速匀速扫描（测库仑 + 粘滞）

让电机以多个不同速度匀速运行（避开极低速区），记录每个速度下的稳态电流 → 转矩。低速段（远离 v_s 影响）的截距就是 F_c，斜率就是 b：

库仑与粘滞参数

T(v) = F_c·sgn(v) + b·v ⟹ 多组 (v, T) 线性拟合得 F_c 与 b

方法二：静摩擦临界转矩测量（测 F_s）

位置锁定在零速，以极慢的速率线性增大 i_q 指令（如每 100ms 加 0.1% 额定），记录转子刚好开始转动时的转矩，即为 F_s。多测几次取平均，减小随机性。

方法三：低速 Stribeck 扫描（测 v_s 与过渡形状）

在 v_s 附近取多点（如 0.5、1、2、5、10、20 × 0.01 rad/s）做匀速扫描，把 F(v) 曲线画出来，负斜率段的范围就是 v_s 的尺度，也能量出过渡形状与指数项幅值。

方法四：位置锁定转矩斜坡（最高精度基准）

和齿槽转矩标定类似，用位置环把转子锁在固定角度，记录维持位置所需的 i_q，多角度扫描。适合做出厂标定基准，但耗时，一般只做研发验证。

✅ 标定小贴士

① 方向要分开测：正反向摩擦往往不对称（重力、装配），前馈必须分方向存参；② 摩擦随温度、磨损漂移（油温上升 F_s 明显下降），产品级要做定期重标定或在线自适应；③ 零速附近的 sgn(v) 会抖动，测量和补偿都要加死区/滞回。

4. 补偿方案总览

方案	原理	对爬行/死区效果	代价	适用场景
摩擦前馈	按指令速度预补 F̂(v)（含静摩擦 boost）	显著，直接消除死区	需标定参数，参数漂移需自适应	所有带速度环/位置环的伺服
Stribeck 前馈查表	把实测 F(v) 曲线存表按速度查	高，含过渡段	表内存、需标定	爬行敏感的高精度轴
高频微振 dither	叠加高频小幅正弦，绕开静摩擦粘滞	中，等效降低 F_s	噪声/磨损/发热	低速持续运行、不允许明显爬行的场合
扰动观测器 DOB	把摩擦当扰动观测并前馈	中高，自适应	受观测器带宽限制	摩擦难建模、需跟随漂移
位置环防死区	到位前先给突破扭矩 + 积分限幅	消除极限环	需调阈值	定位/到位保持类应用

实际产品通常是前馈为主 + DOB 兜底 + 位置环防超调的组合，分工明确不重复。

5. 方案一：摩擦前馈（最直接、性价比最高）

核心思想：把摩擦当成一个"与速度相关、可预知"的确定性扰动，在扭矩指令上提前补上，让闭环只负责残余误差。摩擦前馈三件套：

摩擦前馈扭矩（分方向）

T_ff(v_ref) = F̂_c·sgn(v_ref) + b̂·v_ref + Boost(v_ref)

库仑项 F̂_c·sgn(v_ref)：抵消稳态库仑摩擦
粘滞项 b̂·v_ref：抵消随速度增大的粘滞阻力，让"转矩-速度"特性变直
静摩擦 Boost：当 |v_ref| < v_s（启动/极低速）时，前馈直接补到 F̂_s（break-away boost），把静摩擦死区"垫掉"

💡 为什么 Boost 要补 F_s 而不是 F_c？

启动瞬间系统处于"静止"状态，要突破的是 F_s。若前馈只补 F_c，剩下的 (F_s−F_c) 还得靠 PI 积分去攒，攒满又"突跳"——死区只是被缩小没被消除。把低速段前馈补到 F̂_s，突破发生在积分还很小的时候，启动平滑无突跳。速度超过 v_s 后 Boost 退出，回到动态值。

参数误差容忍度：前馈参数有 ±20% 误差仍能显著改善（残余由 PI 兜底）。只有方向搞反才会帮倒忙——所以分方向标定、分方向补偿是铁律。

6. 方案二：高频微振（Dither）——不标定也能"润滑"

在扭矩/位置指令上叠加一个高频小幅正弦（或方波），让轴始终处于微幅往复运动，处于"动摩擦域"而绕开静摩擦粘滞：

Dither 注入

T_cmd = T_ctrl + A_d·sin(2π·f_d·t)， A_d ≈ (0.1~0.3)·F_s

频率 f_d：远高于位置环带宽（不被响应）、远低于机械一阶谐振（不激励共振），典型 50~500 Hz；大惯量选低一些
幅值 A_d：以"能引起微位移但肉眼/编码器上只是小幅抖动"为准，一般取 F_s 的 10%~30%
效果：等效把 F_s 从"必须一次性突破"降为"每个抖动周期都在尝试突破"，爬行和死区明显减轻
代价：微小磨损、可闻噪声、轻微发热；对安静/精密保持场景要权衡

对比项	摩擦前馈	Dither 微振
是否需要标定	需要（F_s/F_c/b/v_s）	不需要
对启动突跳	彻底消除（boost）	大幅减轻
附加噪声/磨损	无	有（需权衡）
参数漂移鲁棒性	需自适应	天然鲁棒
推荐组合	主方案	低速段补充/无法标定时的替代

7. 方案三：扰动观测器把摩擦"看"出来

摩擦本质是一个确定性扰动，可以用扰动观测器（DOB）/ 扩张状态观测器（ESO）在带宽内估计出来再前馈，不需要精确摩擦模型：

一阶摩擦扰动观测器

τ̂_fric(k+1) = τ̂_fric(k) + L·( ω̇_meas·J − (T_e − τ̂_fric) ) （L 为观测器增益，等价低通滤波观测

优点：无需标定参数，能跟随温度、磨损造成的摩擦漂移；与模型前馈互补
缺点：受观测器带宽限制。启动瞬间摩擦是阶跃扰动，观测器存在收敛滞后——所以DOB 常与模型前馈配合：前馈吃掉已知部分，DOB 吃掉残余与漂移
注意事项：不要把同一份摩擦既用模型前馈又用 DOB 各补一次（过补偿）；建议 DOB 只观测"前馈之后"的残余

8. 方案四：位置环防死区与防超调

定位类应用（机械臂、云台、转台、点胶）还要专门处理"到位"环节：

突破扭矩（break-away move）：当位置误差进入死区（< 摩擦死区对应的角度）时，先发一个持续短时（如 50~100ms）的 F̂_s 级扭矩"撬动"轴，再回到伺服——避免"想动动不了、攒够了又冲过头"
积分分离 / 变增益：位置误差很小时退出积分或降低增益，防止积分在死区里继续累积造成过冲
到位保持：到位后保持一个略大于 F̂_s·sgn(位置误差) 的保持扭矩，防止被外力"吸走"又回不来（deadband 抖动）
速度前馈：位置环叠加速度前馈，让运动指令不再依赖积分"蹭"过去，从源头减小对摩擦的敏感

9. 交互式演示：摩擦模型仿真器与爬行抑制

下面这个仿真器对一个"速度环 + Stribeck 摩擦"系统做实时仿真。你可以调节静/动摩擦比、指令速度，开关摩擦前馈与 dither，直观对比爬行与抑制效果。左侧是 Stribeck 摩擦曲线及当前运行点，右侧是速度随时间的变化。

Stribeck 爬行仿真：摩擦前馈 / Dither 的抑制效果

静/动摩擦比 Fs/Fc 2.5

指令速度 ωref 0.05

启用摩擦前馈（含静摩擦boost）

启用高频微振 Dither

速度波动峰峰值 -- · 停滞占比 --% · 前馈 --

观察要点：

把指令速度调到 v_s 附近（如 0.05，Stribeck 负斜率区）并关掉前馈：速度曲线出现明显的"停-滑-停"锯齿，右侧信息栏的停滞占比升高——这就是爬行
打开摩擦前馈（含 boost）：速度曲线立刻被"抹平"，停滞占比趋近 0——前馈把静摩擦死区垫掉，启动不再突跳
试试只开 Dither 不开前馈：锯齿会变浅，停滞占比下降但仍有轻微抖动——dither 是"无标定"的降级方案
把指令速度调大（离开负斜率区）再关掉前馈：爬行自然消失——说明高速时摩擦问题主要是增益损失而非爬行

10. C 语言实现

10.1 摩擦前馈（含静摩擦 boost，分方向）

/* 摩擦前馈：库仑 + 粘滞 + 静摩擦 boost（分方向） */
typedef struct {
    float fs_pos, fs_neg;   /* 静摩擦 Fs（正/反向），N·m */
    float fc_pos, fc_neg;   /* 库仑摩擦 Fc（正/反向） */
    float b;               /* 粘滞系数，N·m·s/rad */
    float vs;              /* Stribeck 速度，rad/s */
} friction_param_t;

/* 按指令速度计算摩擦前馈扭矩（分方向取参） */
float friction_ff(const friction_param_t *fp, float vref)
{
    const float s  = (vref >= 0.0f) ? 1.0f : -1.0f;
    const float a  = fabsf(vref);
    const float fs = (vref >= 0.0f) ? fp->fs_pos : fp->fs_neg;
    const float fc = (vref >= 0.0f) ? fp->fc_pos : fp->fc_neg;
    float ff;

    if (a < 0.01f) return 0.0f;            /* 零速死区，避免方向抖动 */
    if (a < fp->vs) {                          /* 低速：静摩擦 boost */
        ff = fs * s;
    } else {                                 /* 正常：库仑 + Stribeck + 粘滞 */
        float stribeck = (fs - fc) * expf(-(a * a) / (fp->vs * fp->vs));
        ff = (fc + stribeck) * s + fp->b * vref;
    }
    return ff;
}

/* 速度环内使用：te_ref = te_pi + friction_ff(&fp, speed_ref); */

10.2 高频微振 Dither

/* 高频微振 dither：叠加到扭矩指令，绕开静摩擦粘滞 */
static float dith_phase = 0.0f;
static const float DITHER_F  = 120.0f;  /* Hz，避开机械谐振 */
static const float DITHER_A  = 0.18f;  /* 幅值系数，× Fs */

float dither_add(float fs, float dt)
{
    dith_phase += 2.0f * 3.14159265f * DITHER_F * dt;
    if (dith_phase > 6.2831853f) dith_phase -= 6.2831853f;
    return DITHER_A * fs * sinf(dith_phase);
}

/* 使用：te_cmd = te_pi + ff + (dither_on ? dither_add(fs, dt) : 0.0f); */

10.3 扰动观测器估计残余摩擦

/* 一阶扰动观测器：估计"前馈之后"的残余摩擦/扰动 */
typedef struct {
    float tau_hat;   /* 扰动估计，N·m */
    float L;         /* 观测器增益，需按带宽整定 */
    float J;         /* 转动惯量，kg·m² */
} fric_dob_t;

float dob_update(fric_dob_t *d, float te, float w_meas, float dt)
{
    /* w_dot ≈ (te - tau_hat)/J；观测残差 = w_dot_meas - w_dot_model */
    float w_dot_meas = (w_meas - d->w_prev) / dt;
    float w_dot_model = (te - d->tau_hat) / d->J;
    d->tau_hat += d->L * (w_dot_meas - w_dot_model) * dt;  /* 积分校正 */
    d->w_prev = w_meas;
    return d->tau_hat;
}

/* 使用：te_ref = te_pi + friction_ff(&fp, w_ref) + dob_update(&dob, te_actual, w_meas, dt); */
/* 注意：dob 与模型前馈"分工"，只观测残余，避免同一扰动被补偿两次 */

11. 摩擦补偿注入到 FOC 级联的哪个位置？

前面几节讲了"补什么"，这一节回答工程落地时的第一个问题：补偿扭矩加在哪一层、按什么信号生成？FOC 级联通常分四层：位置环 → 速度环 → 电流环 → 逆变器。摩擦是一个转矩层的扰动，所以所有与摩擦相关的补偿都围绕"速度环输出的转矩指令 T_ref"做文章，而不是进电流环。

_ff(v_ref) Dither A_d·sin DOB 残余 τ̂_dob 启动撬动到位保持（位置环）转矩指令层注入（速度环输出处）位置环侧生成（启动/到位阶段）编码器反馈

注入点	生成信号	补偿内容	说明
转矩指令 Σ	指令速度 v_ref	摩擦前馈 T̂_ff(v_ref)	用指令速度而非实测速度，避免反馈噪声被前馈放大
转矩指令 Σ	时间 t	Dither A_d·sin(2πf_dt)	高频小幅，绕开静摩擦粘滞
转矩指令 Σ	实测速度 ω、电磁转矩 T_e	DOB 残余 τ̂_dob	吃掉前馈未覆盖的残余与漂移
位置环侧	位置误差 e_θ	启动撬动 / 到位保持	死区内发短时突破扭矩 + 保持扭矩

💡 为什么不在电流环里补摩擦？

电流环带宽（通常 1~5 kHz）远高于摩擦的动态过程，它只负责"让实际电流快速等于参考电流"。摩擦表现为转矩层扰动，在电流环内部补只会引入相位滞后和电流纹波。正确做法是：摩擦前馈 / Dither / DOB 全部加在速度环输出的 T_ref 上，电流环保持"跟随"职责不变；位置环负责启动/到位阶段的特殊动作。

⚠️ 叠加顺序与抗饱和

推荐叠加顺序：T_ref = T_PI + T̂_ff + A_d·sin + τ̂_dob + 撬动/保持。前馈加在 PI 输出之后、转矩限幅之前；PI 积分仍按"不包含前馈"的限幅做抗饱和，否则前馈会把积分"顶"进饱和区。注意前馈本身也会推高 T_ref，转矩限幅要留出余量。

12. LuGre 动态摩擦模型：静态 Stribeck 不够用的时候

前文的 Stribeck 模型是静态/稳态摩擦：给定速度 v 就对应一个摩擦扭矩 F(v)。但实验会发现：微动（几个微米内）时轴像一个弹簧一样有"预滑移"位移，撤力后会部分回弹；往返微动还有滞回。这些静态模型解释不了，但对纳米级定位、高精度微动是致命的。LuGre 模型用一根"鬃毛"（bristle）的弹性形变 z 描述微观接触：

LuGre 动态摩擦模型

dz/dt = v − σ₀·|v|/g(v)·z   （鬃毛形变动态）
g(v) = F_c + (F_s − F_c)·e^−(v/v_s)²   （Stribeck 包络）
τ_fric = σ₀·z + σ₁·dz/dt + b·v   （输出 = 刚度 + 阻尼 + 粘滞）

三个核心参数：σ₀（鬃毛刚度，决定预滑移位移大小）、σ₁（鬃毛阻尼，抑制预滑移振荡）、b（粘滞）。稳态时 dz/dt=0 → z_ss = g(v)·sgn(v)/σ₀，代回输出即退化为静态 Stribeck 曲线，两者自洽。

场景	静态 Stribeck	LuGre
宏观匀速 / 加减速	足够	不必要（增复杂度）
微动 / 预滑移（< 100 µm）	无法描述弹性位移	必须（σ₀ 弹性）
往返微动滞回	无法描述	必须
低速精密跟踪（含零点穿越）	大致可用	更精确

✅ 工程简化：两段式处理

产品里很少直接跑完整 LuGre 微分方程（参数敏感、在线辨识难）。更稳的做法是两段式：① 预滑移区（|v| < v_p，位移极小）把摩擦当刚度为 σ₀ 的弹簧，在位置环里等效成一个"微小弹性负载"；② 滑移区退化为静态 Stribeck 前馈。这样既保留预滑移物理，又不引入复杂微分状态，工程上最实用。

13. 摩擦参数在线自适应（RLS）

标定一次就完事了吗？不行——油温升高 30 °C，F_s 可能下降 30% 以上；磨损、负载变化也会让摩擦漂移。所以产品级方案需要在线辨识，让前馈参数跟着实际走。

13.1 思路：正常运行中"顺便"辨识

在 |ω| > v_s 的运动段，摩擦 ≈ F_c·sgn(ω) + b·ω，这是关于参数线性的，可用带遗忘因子的递推最小二乘（RLS）在线估计：

RLS 递推（2 参数，回归量 φ = [sgn(ω), ω]）

y_obs = T_e − J·ω̇  （观测摩擦扭矩）
e = y_obs − φ^Tθ̂  →  θ̂ += K·e，  K = P·φ / (λ + φ^TPφ)
P = (P − K·φ^TP) / λ  （λ 遗忘因子，0.90 ~ 0.995）

观测摩擦扭矩：y_obs = T_e − J·ω̇，即"施加转矩 − 惯性项"，惯量 J 当已知量（可用惯量辨识获得）
遗忘因子 λ：越小跟随越快但越易受噪声影响；恒定匀速段取 0.995，工况变化快的轴取 0.98 左右
激励要求：RLS 需要"速度有变化"（正反向、加减速）才能同时辨识 F_c 与 b；长期匀速单方向会退化为只辨识一个参数（协方差退化），要加协方差重置 / 上下限钳位兜底
静止段：|ω| 很小时 sgn 抖动且摩擦非线性，必须不喂数据（门限 FRIC_RLS_WS）

13.2 F_s 怎么在线更新？

F_s 出现在"静止→运动"的突破瞬间，RLS 的线性模型覆盖不到。工程上常用突破事件采样：检测到"速度从 0 突破到运动"的瞬间，记录此刻的转矩幅值 |T|，它就是 F_s 的一个样本，做低通平滑更新：

Fs 突破采样更新

F̂_s ← F̂_s + α·(|T_break| − F̂_s)， α ≈ 0.1 ~ 0.3，仅突破事件发生时

机器人每次从静止启动都是一次"免费"的 F_s 采样，跑几轮就收敛。方向要分开（正反向 F_s 通常不对称）。

13.3 与 DOB 的分工

RLS 是慢自适应（秒级收敛），DOB 是快估计（带宽内瞬时），二者天然互补：RLS 慢慢修正前馈模型参数，DOB 吃掉前馈没补上的瞬时残余。这样既不会像"纯 DOB"那样受带宽限制，也不会像"纯前馈"那样参数漂移后失配。完整 C 实现见第 16 节。

14. 复合前馈：摩擦 + 齿槽 + 重力

真实机器人关节 / 精密转台上，影响转矩的确定性扰动远不止摩擦：齿槽转矩（随角度周期变化，见第 3、9 篇）、重力力矩（随角度变化）、弹簧 / 缆绳张力（随角度或位移）。它们叠加在一起，任何一个单独补偿都会"按下葫芦浮起瓢"。工程上把它们汇总成一个复合转矩前馈：

复合前馈（按信号源分工）

T_ff(θ, v_ref) = T_fric(v_ref) + T_cog(θ) + T_grav(θ) + T_spring(θ)
T_ref = T_PI + T_ff + A_d·sin(2πf_dt) + τ̂_dob

扰动源	依赖变量	前馈形式	与本文 / 前文关系
摩擦	速度 v_ref	Stribeck 查表 / 模型 + boost	本文第 5 节
齿槽	角度 θ	角度查表 / 谐波注入	第 3、9 篇
重力	角度 θ	cos / sin 函数或角度查表	机器人关节标配
弹簧 / 缆绳	角度 θ	刚度 × 位移查表	多连杆 / 腱驱
残余未知	—	DOB 兜底	本文第 7 节 + 第 07 篇

⚠️ 叠加的坑：重复补偿与饱和

① 别重复补：摩擦 / 齿槽 / 重力各自独立前馈，但 DOB 观测的是"总残余"，不要再给每个源各配一个 DOB——否则同一扰动被补两遍。② 转矩饱和：几路前馈加在一起可能瞬时超过电流 / 转矩限幅，必须统一限幅，且让 PI 积分知道限幅（抗饱和）。③ 角度相位：齿槽 / 重力前馈用指令角度还是实测角度？跟随误差大时用指令角度（含前馈位置）+ 相位校正，避免反馈噪声。

15. F_s/F_c 特别大（5~10）系统的专用策略

带预紧谐波减速器、油封、或涡轮蜗杆自锁机构的轴，F_s/F_c 可达 5~10。此时启动突跳更猛、到位极限环更大、爬行更顽固，常规方案要加强：

启动"撬动"（break-away jolt）：静止启动时先发一个 1.2~1.5 × F̂_s、持续 5~30 ms 的短时扭矩脉冲"撬"动轴，立即回落。用"主动猛突破"代替"PI 积分慢慢攒"，启动时间从几百 ms 降到几 ms，且无突跳过冲
到位防极限环：位置误差进入死区后，先给一次撬动扭矩快速过死区，然后切到伺服保持——避免"攒积分 - 冲过头 - 反向攒"的极限环
位置保持扭矩：到位后保持一个 ≈ F̂_s × 安全系数(0.9~1.1) × sgn(e_θ) 的扭矩，防止被外力"吸走"。注意保持扭矩不要超过 F_s 太多，否则低速微调时又会粘滞
速度前馈必配：大 F_s 时位置环若只靠积分"蹭"过死区必然极限环，必须叠加速度前馈 + 位置环输出限幅
加大死区与滞回：速度反馈噪声相对更大，sgn 滞回带要覆盖噪声幅值，防止前馈方向高频翻转
方向解锁：正反向 F_s 严重不对称（如重力叠加）时，反向启动要单独给"方向解锁"扭矩，不能共用正向前馈
Dither 幅值同步加大：dither 幅值取 F_s 的 10%~30%，F_s 大时绝对幅值也大，要确认不会激励谐振 / 产生可闻噪声（必要时改用方波 dither 提高效率）

策略	常规 F_s/F_c = 2~4	大 F_s/F_c = 5~10
启动方式	前馈 boost 即可	必须撬动脉冲（1.2~1.5 × F_s）
到位	积分分离 + 突破扭矩	撬动 + 保持扭矩 + 速度前馈
前馈死区	0.5~1% v_s	加大滞回带防抖动
Dither 幅值	0.1~0.3 F_s	按 0.1~0.3 F_s，但校验谐振 / 噪声

⚠️ 大 F_s 系统的机械警示

F_s/F_c 特别大往往提示机械预紧过度（润滑不良、密封过紧、预载过大）。算法可以"撬"过去，但长期大扭矩撬动会加速磨损、发热，甚至使电机长期处于接近堵转的大电流。务必先做机械排查（前文要点 1），把 F_s 本身降下来才是治本。

16. 完整可编译工程代码：friction_comp 模块

把前文所有方案落成一个可直接移植的 C 模块：摩擦前馈（分方向 + boost）+ Dither + RLS 在线自适应 + DOB 残余 + 启动撬动 / 到位保持，注入点为速度环输出的 T_ref。头文件与源文件如下，直接加入工程即可使用。

16.1 friction_comp.h

/**
 * @file    friction_comp.h
 * @brief   摩擦补偿模块（静摩擦 >> 动摩擦伺服系统）
 *          —— 摩擦前馈(含静摩擦boost) + Dither + RLS在线辨识
 *             + DOB残余 + 启动撬动/到位保持
 * @note    注入点：速度环输出（转矩指令 T_ref）；
 *          启动撬动/保持扭矩由位置环侧生成，同样汇入 T_ref
 * @version v1.0
 */
#ifndef __FRICTION_COMP_H
#define __FRICTION_COMP_H

#include <stdint.h>

#ifdef __cplusplus
extern "C" {
#endif

/* ---------- 摩擦静态参数（正反向分开） ---------- */
typedef struct {
    float fs_pos;   /* 静摩擦 Fs（正向），N·m          */
    float fs_neg;   /* 静摩擦 Fs（反向），N·m          */
    float fc_pos;   /* 库仑摩擦 Fc（正向），N·m        */
    float fc_neg;   /* 库仑摩擦 Fc（反向），N·m        */
    float b_pos;    /* 粘滞系数 b（正向），N·m·s/rad   */
    float b_neg;    /* 粘滞系数 b（反向），N·m·s/rad   */
    float vs;       /* Stribeck 速度，rad/s            */
} friction_param_t;

/* ---------- RLS 在线辨识状态 ---------- */
typedef struct {
    float p_hat[2]; /* 估计参数 [Fc, b]               */
    float cov[3];   /* 协方差矩阵 P（2x2 上三角存储）  */
    float lambda;   /* 遗忘因子 0.90 ~ 0.995           */
} friction_rls_t;

/* ---------- 一阶扰动观测器 ---------- */
typedef struct {
    float tau_hat;  /* 残余扰动估计，N·m               */
    float L;        /* 观测器增益                      */
    float J;        /* 转动惯量，kg·m²                 */
    float w_prev;   /* 上一拍速度，rad/s               */
} friction_dob_t;

/* ---------- 启动撬动 / 到位保持 ---------- */
typedef struct {
    float jolt_torque;  /* 撬动扭矩幅值，一般 = Fs x 1.2~1.5 */
    float jolt_time;    /* 撬动持续时间，s                   */
    float hold_torque;  /* 到位保持扭矩，一般 ~= Fs          */
    float deadband;     /* 位置死区，rad                     */
} friction_jolt_t;

/* ---------- 补偿器总状态 ---------- */
typedef struct {
    friction_param_t param;
    friction_rls_t   rls;
    friction_dob_t   dob;
    friction_jolt_t  jolt;
    float  dither_freq;    /* dither 频率，Hz        */
    float  dither_amp_k;   /* dither 幅值系数（xFs） */
    uint8_t ff_enable;     /* 摩擦前馈使能           */
    uint8_t dither_enable; /* dither 使能            */
    uint8_t adapt_enable;  /* 在线自适应使能         */
    float  dt;             /* 控制周期，s            */
    float  phase;          /* dither 相位累加器      */
    uint32_t jolt_cnt;     /* 撬动倒计时             */
    uint8_t  jolt_active;  /* 撬动进行中标志         */
} friction_comp_t;

/* ---------- API ---------- */
void friction_comp_init(friction_comp_t *fc, float dt);
float friction_ff(friction_comp_t *fc, float v_ref);
float friction_dither(friction_comp_t *fc);
float friction_dob_update(friction_comp_t *fc, float te, float w_meas);
void  friction_rls_update(friction_comp_t *fc, float tau_f_obs, float w_meas);
float friction_comp_process(friction_comp_t *fc, float v_ref, float w_meas,
                            float te, float pos_err);

#ifdef __cplusplus
}
#endif

#endif /* __FRICTION_COMP_H */

16.2 friction_comp.c

/**
 * @file    friction_comp.c
 * @brief   摩擦补偿模块实现
 * @usage   速度环 ISR 内每周期调用一次：
 *          float T_ref = pi_out
 *                      + friction_comp_process(&fc, v_ref, w_meas, te_actual, pos_err);
 *          其中 te_actual 取电机实际电磁转矩（= iq * Kt）。
 */
#include "friction_comp.h"
#include <math.h>

#define FRIC_M2PI    6.283185307179586f
#define FRIC_FF_DEAD 0.01f   /* 前馈速度死区，rad/s，防方向抖动 */
#define FRIC_RLS_WS  0.02f   /* RLS 辨识最小速度，rad/s         */

static float fric_sign(float x)
{
    return (x >= 0.0f) ? 1.0f : -1.0f;
}

/* 初始化：标称参数由上层配置，这里只初始化状态量 */
void friction_comp_init(friction_comp_t *fc, float dt)
{
    fc->dt = dt;
    fc->phase = 0.0f;
    fc->jolt_active = 0;
    fc->jolt_cnt = 0;

    /* RLS 初值：以标称参数一半起步，协方差取大加快收敛 */
    fc->rls.p_hat[0] = 0.5f * 0.5f * (fc->param.fc_pos + fc->param.fc_neg);
    fc->rls.p_hat[1] = 0.5f * 0.5f * (fc->param.b_pos  + fc->param.b_neg);
    fc->rls.cov[0] = 10.0f;
    fc->rls.cov[1] = 0.0f;
    fc->rls.cov[2] = 10.0f;
    fc->rls.lambda = 0.985f;

    fc->dob.tau_hat = 0.0f;
    fc->dob.w_prev = 0.0f;
}

/* 摩擦前馈：库仑 + 粘滞 + 低速静摩擦 boost，分方向取参 */
float friction_ff(friction_comp_t *fc, float v_ref)
{
    const friction_param_t *p = &fc->param;
    float s, a, fs, fc_, b, ff, st;

    if (!fc->ff_enable) return 0.0f;
    a = fabsf(v_ref);
    if (a < FRIC_FF_DEAD) return 0.0f;      /* 死区防抖 */

    s  = fric_sign(v_ref);
    fs = (v_ref >= 0.0f) ? p->fs_pos : p->fs_neg;
    fc_= (v_ref >= 0.0f) ? p->fc_pos : p->fc_neg;
    b  = (v_ref >= 0.0f) ? p->b_pos  : p->b_neg;

    if (a < p->vs) {
        ff = fs * s;                        /* 静摩擦 boost */
    } else {
        st = (fs - fc_) * expf(-(a * a) / (p->vs * p->vs));
        ff = (fc_ + st) * s + b * v_ref;
    }
    return ff;
}

/* 高频微振 dither：幅值 = 幅值系数 x Fs */
float friction_dither(friction_comp_t *fc)
{
    const friction_param_t *p = &fc->param;
    float fs_avg;

    if (!fc->dither_enable) return 0.0f;
    fs_avg = 0.5f * (p->fs_pos + p->fs_neg);
    fc->phase += FRIC_M2PI * fc->dither_freq * fc->dt;
    if (fc->phase > FRIC_M2PI) fc->phase -= FRIC_M2PI;
    return fc->dither_amp_k * fs_avg * sinf(fc->phase);
}

/* 一阶扰动观测器：估计"前馈之后"的残余扰动 */
float friction_dob_update(friction_comp_t *fc, float te, float w_meas)
{
    friction_dob_t *d = &fc->dob;
    float w_dot_meas  = (w_meas - d->w_prev) / fc->dt;
    float w_dot_model = (te - d->tau_hat) / d->J;

    d->tau_hat += d->L * (w_dot_meas - w_dot_model) * fc->dt;
    d->w_prev = w_meas;
    return d->tau_hat;
}

/* RLS 在线辨识 [Fc, b]：仅运动态喂数据，结果慢速写回前馈参数 */
void friction_rls_update(friction_comp_t *fc, float tau_f_obs, float w_meas)
{
    friction_param_t *p = &fc->param;
    float *P  = fc->rls.cov;
    float *ph = fc->rls.p_hat;
    float lam = fc->rls.lambda;
    float phi[2], y_pred, e, Pphi[2], den, K[2], Pn[3], k;

    if (!fc->adapt_enable) return;
    if (fabsf(w_meas) < FRIC_RLS_WS) return;   /* 静止段不辨识 */

    phi[0] = fric_sign(w_meas);
    phi[1] = w_meas;

    y_pred = phi[0] * ph[0] + phi[1] * ph[1];
    e = tau_f_obs - y_pred;

    Pphi[0] = P[0] * phi[0] + P[1] * phi[1];
    Pphi[1] = P[1] * phi[0] + P[2] * phi[1];
    den = lam + phi[0] * Pphi[0] + phi[1] * Pphi[1];
    K[0] = Pphi[0] / den;
    K[1] = Pphi[1] / den;

    ph[0] += K[0] * e;
    ph[1] += K[1] * e;

    /* 协方差更新 P = (I - K*phi')*P / lam */
    Pn[0] = ((1.0f - K[0] * phi[0]) * P[0] - K[0] * phi[1] * P[1]) / lam;
    Pn[1] = ((1.0f - K[0] * phi[0]) * P[1] - K[0] * phi[1] * P[2]) / lam;
    Pn[2] = (-K[1] * phi[0] * P[1] + (1.0f - K[1] * phi[1]) * P[2]) / lam;
    P[0] = Pn[0];
    P[1] = Pn[1];
    P[2] = Pn[2];

    /* 慢速写回前馈参数（分方向），k 为每拍更新率 */
    k = 0.002f;
    if (w_meas >= 0.0f) {
        p->fc_pos += k * (ph[0] - p->fc_pos);
        p->b_pos  += k * (ph[1] - p->b_pos);
    } else {
        p->fc_neg += k * (ph[0] - p->fc_neg);
        p->b_neg  += k * (ph[1] - p->b_neg);
    }
}

/* 启动撬动 + 到位保持 */
static float friction_breakaway(friction_comp_t *fc, float pos_err)
{
    float push = 0.0f;

    /* ① 进入位置死区 -> 发短时撬动扭矩 */
    if (!fc->jolt_active) {
        if (fabsf(pos_err) < fc->jolt.deadband) {
            fc->jolt_active = 1;
            fc->jolt_cnt = (uint32_t)(fc->jolt.jolt_time / fc->dt);
        }
    }
    if (fc->jolt_active) {
        push = fric_sign(pos_err) * fc->jolt.jolt_torque;
        if (fc->jolt_cnt > 0) fc->jolt_cnt--;
        if (fc->jolt_cnt == 0) fc->jolt_active = 0;
    }

    /* ② 已到位：保持扭矩防"被吸走"（带死区防抖） */
    if (fabsf(pos_err) < fc->jolt.deadband * 0.5f) {
        push += fric_sign(pos_err) * fc->jolt.hold_torque;
    }
    return push;
}

/* 综合入口：速度环 ISR 内每周期调用 */
float friction_comp_process(friction_comp_t *fc, float v_ref, float w_meas,
                            float te, float pos_err)
{
    /* 先算角加速度，dob_update 会更新 w_prev，顺序不能反 */
    float w_dot = (w_meas - fc->dob.w_prev) / fc->dt;
    float ff   = friction_ff(fc, v_ref);
    float dth  = friction_dither(fc);
    float dob  = friction_dob_update(fc, te, w_meas);
    float push = friction_breakaway(fc, pos_err);

    /* 观测摩擦扭矩 ~= te - J*w_dot，喂给 RLS（前馈后的残余观测） */
    friction_rls_update(fc, te - fc->dob.J * w_dot, w_meas);

    return ff + dth + dob + push;
}

16.3 集成示例

/* ============================================================
 * 使用示例：速度环 ISR（10 kHz）内的集成
 * ============================================================ */
static friction_comp_t g_fric;

void motor_ff_init(void)
{
    /* 标称参数：来自第 3 节辨识，之后由 RLS 在线校正 */
    g_fric.param.fs_pos = 1.50f;   g_fric.param.fs_neg = 1.45f;
    g_fric.param.fc_pos = 0.60f;   g_fric.param.fc_neg = 0.55f;
    g_fric.param.b_pos  = 0.02f;   g_fric.param.b_neg  = 0.02f;
    g_fric.param.vs     = 0.05f;   /* Stribeck 速度 */
    g_fric.dob.J = 8.0e-4f;        /* 惯量（惯量辨识获得） */
    g_fric.dob.L = 400.0f;         /* 观测器增益（按带宽整定） */
    g_fric.jolt.jolt_torque = 1.3f * g_fric.param.fs_pos;  /* 撬动 */
    g_fric.jolt.jolt_time   = 0.05f;
    g_fric.jolt.hold_torque = 0.9f * g_fric.param.fs_pos;  /* 保持 */
    g_fric.jolt.deadband    = 0.002f;   /* 2 mrad */
    g_fric.dither_freq  = 120.0f;       /* 避开机械谐振 */
    g_fric.dither_amp_k = 0.20f;
    g_fric.ff_enable = 1;
    g_fric.dither_enable = 0;           /* 默认关，按需开 */
    g_fric.adapt_enable  = 1;           /* 在线自适应 */
    friction_comp_init(&g_fric, 0.0001f);
}

void speed_isr_10k(void)
{
    float w_cmd   = speed_cmd();        /* 速度指令 rad/s       */
    float v_ref   = speed_loop();       /* 速度环 PI 输出       */
    float w_meas  = speed_fb();         /* 实测速度 rad/s       */
    float te_act  = iq_fb() * KT;       /* 实际电磁转矩 N·m     */
    float pos_err = position_err();     /* 位置环误差 rad       */

    /* 摩擦补偿总量叠加到转矩指令（电流环之前） */
    float T_ref = v_ref
                + friction_comp_process(&g_fric, w_cmd, w_meas, te_act, pos_err);

    torque_apply(T_ref);                /* 送电流环参考        */
}

✅ 移植清单

① 速度环 ISR 内每周期调用一次 friction_comp_process，把返回值加到 T_ref；② 按第 3 节辨识结果初始化 param 与 dob.J / dob.L；③ 需要在线自适应就把 adapt_enable = 1，否则置 0 只做静态前馈；④ dither 频率按机械谐振实测选取，默认先关。

17. 扩展演示：摩擦参数在线辨识（RLS）仿真器

下面这个仿真器验证第 13 节的自适应方案：系统带未知的 F_s / F_c / b，指令做正弦往复运动（提供辨识激励）。左侧是 RLS 对 F_c、b 的在线收敛曲线（以及 F_s 突破采样的收敛），右侧对比自适应前馈（RLS 校正）与无前馈（纯 PI）两种配置的速度跟踪——直观看到前馈把速度环从"独自扛摩擦"中解放出来。初始估计故意设错（标称一半），观察它如何自己"学"回来。

摩擦参数在线辨识（RLS）与自适应前馈

真实静摩擦 Fs 3.0

真实库仑 Fc 1.0

真实粘滞 b 0.40

遗忘因子 λ 0.985

指令速度幅值 0.40

在线自适应 + 自适应前馈

Fĉ = -- · b̂ = -- · Fŝ = -- · 自适应 --

观察要点：

刚启动时估计值从"标称一半"的错误初值出发（Fĉ ≈ 0.7、Fŝ ≈ 1.0），经过几个正反向周期后收敛到真实值——这就是 RLS + 突破采样的"免费辨识"
把遗忘因子 λ 调小（如 0.90）：收敛更快但抖动更大；调大（0.999）：平滑但跟随慢。真实系统按噪声水平折中
对比右侧速度曲线：自适应前馈（绿）经 RLS 校正后紧贴指令；无前馈（橙）时 PI 要独自扛起全部摩擦 + 加速度力矩，每个往复周期都出现明显滞后与爬行——这就是前馈存在的意义
把真实 Fs 调大（如 5~6）：突破采样收敛更明显，右侧无前馈曲线爬行更严重——印证 F_s 越大越需要前馈 / 撬动
注意：长期单方向匀速时 RLS 只靠一个方向的数据，Fc / b 辨识会退化；正反向交替（本仿真默认）才能同时辨识两个参数

18. 工程要点与常见误区

要点 1：先查机械，再谈算法

爬行严重时先检查润滑、密封圈抱紧、导轨/减速器预紧、皮带张力。机械原因（如润滑不良导致的异常大 F_s）靠算法只能"掩盖"不能"解决"，还会加剧磨损。算法补偿是"锦上添花"，不是"救火"。

要点 2：前馈方向是铁律

摩擦前馈方向必须与运动方向一致，且正反向参数分开存。方向一旦反了，前馈非但不抵消反而加倍助长——这是摩擦前馈唯一会"帮倒忙"的地方。

要点 3：参数漂移要兜底

F_s 随油温、磨损显著变化（油温升高 F_s 下降 30% 以上不罕见）。产品级方案要定期重标定或让 DOB/自适应算法跟随漂移，否则前馈会逐渐失配。

要点 4：dither 频率避开机械谐振

dither 频率若落在机械一阶谐振附近，会把微振放大成可闻共振甚至啸叫。上电前用扫频确认谐振峰，再选 f_d（一般取远低于最低谐振的 50~200 Hz，或高于谐振但不过激）。

要点 5：前馈与 DOB 分工不重复

模型前馈吃掉"已知"摩擦，DOB 只观测"残余"。若同一份摩擦被两者各补一次，会造成过补偿和振荡。建议 DOB 的输入取"实际扭矩 − 前馈"，输出再接回。

误区 1：加大增益能压住爬行

爬行是 Stribeck 负阻尼失稳，加大 PI 增益往往更糟（进入极限环）。应先让运行点离开负斜率区（前馈/dither），再谈增益。

误区 2：sgn 函数直接用在零速

速度反馈在零速附近来回抖动，直接用 sgn(v) 会让前馈方向高频翻转，相当于注入噪声。必须加速度死区 + 滞回（如 |v|<0.01 时前馈置 0，并保持上次方向直到越过滞回带）。

误区 3：位置环积分不抗饱和

位置误差一直在死区里，积分持续累积 → 超过 F_s 后爆发 → 冲过头 → 反向再来……极限环。要积分分离/变增益 + 积分限幅。

误区 4：前馈只在速度环补一次

位置环（尤其点到点运动）也要配合：到位突破扭矩、保持扭矩、速度前馈。只做速度环前馈，位置到位阶段仍会被静摩擦死区卡住。

19. 小结

静摩擦 >> 动摩擦的根源在微观咬合与工程预紧，典型 F_s/F_c = 1.5~4，预紧减速器可到 5~10
危害：启动死区与突跳、低速爬行（Stribeck 负阻尼）、定位极限环、象限切换毛刺、低速轮廓误差
辨识：多速匀速扫描（F_c、b）+ 临界转矩斜坡（F_s）+ 低速 Stribeck 扫描（v_s），正反向分开
四类补偿：摩擦前馈（主方案，含静摩擦 boost）、dither 微振（无标定降级）、扰动观测器（跟随漂移）、位置环防死区（到位/保持）
爬行的本质是负阻尼失稳，先让运行点离开 Stribeck 负斜率区，再谈增益整定
成败关键：方向、死区/滞回、参数漂移自适应、前馈与 DOB 分工、dither 避谐振
注入位置：摩擦前馈 / Dither / DOB 全加在速度环输出 T_ref，电流环只管跟随；位置环负责撬动与保持
模型进阶：LuGre 动态模型解释预滑移 / 滞回，工程用"预滑移弹簧 + 滑移 Stribeck"两段式简化
在线自适应：RLS 辨识 Fc / b + 突破采样辨识 Fs + DOB 兜底，参数随温度 / 磨损漂移不再怕
复合前馈：摩擦（速度相关）+ 齿槽 / 重力（角度相关）按信号源分工叠加，DOB 兜底总残余
大 Fs/Fc（5~10）系统：启动撬动、到位保持、速度前馈、方向解锁、加大滞回

下一篇我们回到角度反馈的精度问题——磁编码器非线性校准，理解磁编角度误差从哪来、对 FOC 影响多大，以及如何把读数校准准。